У меня FAT разделы подключены так:
/dev/sda13 /media/R vfat auto,umask=000,uid=<username>,gid=users,iocharset=utf8,codepage=866 0 0
Где username мое имя пользователя, users - группа, в которую я себя переношу после установки (привык так, обычно группа совпадает с именем пользователя)
У меня была один в один та же проблема, решилась добавлением этих опций.
ИМХО, это потому, что монтирование через fstab делается от рута, потому и запись будет только от рута
Также сделайте себя владельцем папки /media и вложенных подпапок, в которые производится монтирование (через прав кнопку мыши, свойства, права)